Борис Іванович у 1988 році закінчив Київський державний університет ім. Т. Г. Шевченка (нині – Київський національний університет імені Тараса Шевченка) за спеціальністю «Правознавство». 

З 1988 року до 2011 року працював стажистом, суддею, заступником голови та головою Шевченківського районного народного суду м. Києва (згодом – Шевченківський районний суд м. Києва).

У 2011–2014 роках був суддею Вищого спеціалізованого суду України з розгляду цивільних і кримінальних справ, а з 2014 року до 2017 року – обіймав посаду голови цього суду.

Указом Президента України від 10 листопада 2017 року Борис Гулько призначений суддею Верховного Суду у Касаційному цивільному суді. В грудні того ж року збори суддів КЦС ВС обрали його головою КЦС ВС, а з 8 грудня 2021 року Борис Іванович був переобраний головою суду ще на один чотирирічний термін.